精心总结的AP微积分考前知识点梳理 review sheet!

　　AP马上就要考试了~小伙伴，你们还好么?

　　这篇文章是新航道英语整理的AP微积分知识点梳理。公式大全，请：2017AP微积分公式大全（下）、2017AP微积分公式大全（上）

　　微积分考试分为AB与BC，与AB相比，BC包含的内容更多、难度更高。考点包括极限、微分、积分(不定积分、定积分)、微分方程、级数(AB无此部分)、应用。

　　1极限部分

　　这部分是微积分的基础，包含：

　　(1)会判断极限存在或不存在，当极限存在时，如何求出该极限

　　(2)利用极限刻画函数的形态——渐近线(asymptote)，研究函数的性质——连续性(continuous)。

　　1.1 极限存在的判定标准：左极限与右极限均存在且相等

　　1.2 求极限的方法

　　求a：先将a代入表达式，如果可以求出某一确定的数值，则该数值即为此函数的极限。

　　1.2.1 有理函数(rational function)

　　一般来说都是0/0或infinity/ infinity的形式，

　　求a：通过因式分解将0因子约掉。

　　求无穷大(infinity)：分子分母同时除以该式子的次项。

　　另外也可用L’Hopital’sRule来做。

　　1.2.2 洛必达法则(L’Hopital’s Rule)

　　具体使用时，如果所求极限是0/0或infinity/ infinity的形式，可以将分子分母两部分分别求导，再计算求完导数之后的极限。

　　1.2.3 等价无穷小代换

　　这一方法大部分国外教材与辅导书(James，Thomas，Finney，Barron)都未提及，但掌握之后会给运算带来相当大的便利。

　　1.2.4 幂指函数

　　即

　　这种类型的函数，做法是通过ln将其变换成指数型函数来进行运算。

　　1.2.5

　　0乘有界等于0

　　1.3 对于极限不存在，需要掌握左右极限不相等、无穷大和震荡三种

　　1.4 极限的应用

　　1.4.1 函数的连续性(continuity)

　　如果函数在某一点的极限值等于函数值，则称该函数在这一点连续。判断函数在某一点是否连续，必须要分别考察其左极限与右极限，如果左极限与右极限相等则说明极限存在，进而与该点的函数值比较，如果相等即为连续，不等即为间断。

　　1.4.2 间断点的类型(discontinuity)

　　一共分为三种removable，jump，infinite

　　1.4.3 当函数在某一闭区间上连续时，则有三个定理

　　(1) The extremevalue theorem (EVT)

　　(2) Theintermediate value theorem (IVT)

　　(3) The zeropoint theorem (Bolzano theorem)

　　1.4.4 渐近线(asymptote)

　　分为水平(horizontal)与垂直(vertical)。

　　其中水平的求法是分别求两个infinity的极限，如果存在则可判定有水平渐近线。

　　垂直的求法是求某一点的极限，如果该极限等于无穷(infinity)，则可判定通过在这一点存在垂直渐近线。

　　水平(horizontal)：

　　垂直(vertical)：

　　2导数与微分

　　这一部分的核心在于如何求出一个函数的导数及导数的应用。2.1 导数与微分的定义

　　简单来说，导数是切线的斜率(slope)，微分是切线的改变量。

　　2.2 求函数不同表示形式的导数

　　显函数，反函数，复合函数，隐函数，参数方程，极坐标

　　2.2 高阶导数　　要注意的一点以哪个变量为基准求导数，默认是x，但也有特殊情况，如respectto sinx，则是将sinx看成一个整体进行求解。

　　它是在导数的基础之上再求一次导数，常用的是二阶导数(second derivative)

　　2.3 导数的直接应用

　　导数的直接应用是求切线和法线。

　　求切线的时候需要注意的是所给的点是否在已知曲线上，如果在则可直接求导代数求出切线斜率(slope)，如果不在则需要先设出切点，而后通过解方程的形式把切点和斜率解出来，从而得出切线。

　　2.4 可导与连续

　　在某一点可导必然连续，而连续则不一定可导。

　　2.5 中值定理(mean value theorem)

　　从几何图形上来看，当函数在闭区间上连续、开区间内可导时，必然存在一点c使得过c点切线的斜率等于端点连线的斜率。

　　利用中值定理可以对函数进行估值和给导数估值。

　　3导数与微分的应用

　　3.1 函数与导数的关系

　　函数的增减性可由一阶导数的正负来判断，凹凸性可由二阶导数的正负来判断。

　　3.2 驻点与拐点(critical and inflection point)

　　不同的教材对这两个点的定义不同，我们这里采用比较通用的

　　3.3 求函数在某一闭区间上的max and min

　　极值(local/relativemaximum and minimum)：邻域内或最小

　　最值(global/absolutemaximum and minimum)：整个区间内或最小

　　对local来说，步骤如下：

　　(1)求出一阶导数等于0和不存在的点

　　(2)利用一阶导数是否改变符号和二阶导数的正负来判定。

　　对global来说，步骤如下：

　　(1)求出一阶导数等于0和不存在的点

　　(2)求出所有的函数值，的即为global max，最小的即为global min。

　　3.4 物理应用：运动

　　运动分为直线运动与平面运动，最原始变量为位置函数，由位置函数来定义位移(displacement)和路程(distance)，在位移(displacement)的基础上定义速度(velocity)和速率(speed)，在速度的基础上定义加速度(acceleration)。

　　平面运动的位置函数用向量(vector)来表示，因此后面所有的变量都是向量的形式。

　　直线运动的主要问题

　　(1)求加速与减速区间

　　(2)求在哪一时刻改变运动的方向

　　(3)求某一时间段内的路程(distance)

　　平面运动的主要问题

　　(1)速度向量、速率和加速度向量

　　(2)求某一时间段内的位移(displacement)和路程(distance)

　　3.5 相关变化率

　　这一部分是应用题，现实生活中的某一个量随时间变化而变化，进而求:

　　(1)某一时刻该量的瞬时变化率

　　(2)某一时间段内平均变化率

　　(3)某一时间段内的累积量(积分的应用)

　　4不定积分和定积分

　　4.1

　　与导数类似，不定积分这一部分主要是它的求法，基本的积分公式与运算必须非常熟练。

　　(1)换元法(substitution)：将被积函数的某一部分用另外的变量代替，从而将被积函数化简，使用积分基本公式得出结果。

　　(2)分部积分法(integral by parts)：适用于求两类不同函数乘积的积分，核心是通过交换来改变被积函数，从而将难求的变成容易求的。

　　(3)有理函数积分：对于分母是1次和2次的形式有固定的套路，掌握即可。

　　4.2 定积分

　　1.黎曼和(Riemann sum)

　　使用近似逼近的方式来求面积，常用的是左端点、右端点、中点、梯形来做估计，步骤如下

　　(1)将区间等分成n份(也可不等分)

　　(2)按照预先设定的规则求出每一部分的面积

　　(3)加总。

　　利用黎曼和对定积分或面积进行估值，需要比较估计值和真实值的大小，可比较的是左端点、右端点和梯形三种估计方法，中点由于大小不易确定，较少出现。

　　黎曼积分则是在加总之后求极限，那么该极限值应该等于图形面积的真实值，也就是定积分的值(黎曼可积)。

　　2.求定积分的基本方法

　　牛顿-莱布尼茨公式，使用该公式时先求不定积分，再代入数值，因此不定积分的方法都可以在这里使用。但是需要注意的是，使用换元法的时候，变量的取值范围会发生变化。

　　3.求定积分的特殊方法

　　(1)对于某些规则图形(三角形、圆等)可用其几何意义直接算出面积，再利用定积分和面积之间的关系来求

　　(2)利用奇函数和偶函数的性质来求。

　　4.积分中值定理

　　求函数在某一个区间上的平均值或积分中值，使用如下公式即可。

　　5.变限积分

　　当被积函数确定时，积分值会随着积分区间的变化而变化，因此可将积分值看做积分区间的函数，其中需要掌握的是变限积分的求导。

　　6.反常积分(improper integral)

　　当积分区间不是有限区间(即包含无穷大)或积分区间会使被积函数为无界的时候，求积分需要用到极限，如果极限存在，则称积分收敛(converge)，不存在则称为发散(diverge)。

　　5定积分的应用

　　求面积、体积、弧长

　　5.1 面积

　　求平面曲线围成的平面图形的面积，一般来说是给定一条或若干条曲线，求它与x轴、y轴或其他直线或曲线围成图形的面积。

　　对于直角坐标系，使用定积分的几何意义来求，但需要注意的是面积永远是正数，而积分值有正有负，因此当函数大小关系或区间的边界发生变化时，要注意区别对待。

　　5.2 极坐标求面积

　　面积公式与直角坐标不同，特别需要注意的是积分的范围，如果不好判断，可用半径来反求角的范围。

　　5.3 体积：

　　求平行截面面积已知的立体图形的体积和旋转体体积，种图形对截面面积求积分可得体积，第二种图形有两种求法，种也是对截面面积求积分，不过要注意旋转截面是实心圆还是圆环，第二种是利用shell来求，掌握好展开后的圆柱壳的长宽高即可。

　　5.3 弧长

　　弧长公式用四种，一般来说在考试中如果是不允许使用计算器的部分，只会要求考生列出计算公式，不要求算出数值，而允许使用计算器的部分则可利用计算器来计算弧长的数值。

　　6微分方程

　　6.1 解微分方程：

　　对变量可分离的微分方程，解法是将x和y分离后，等式两边同时求积分。

　　6.2 斜率场(slope field)

　　根据微分方程原函数每一点切线斜率计算出来，而后将与该点切线斜率相同的线段画在坐标系中，由此所形成的图形即为斜率场。斜率场所描绘出的图形即为微分方程的解。

　　6.3 增长模型

　　分为三种：

　　指数型增长(exponentialgrowth)

　　有限制的增长(restrictedgrowth)

　　逻辑斯蒂增长(logisticgrowth)

　　6.4 欧拉估值(Euler’s method)

　　多次使用中值定理进行估值，此时c不再任取，而是固定取每一步的起始值。

　　7级数(series)

　　级数共分为三部分：

　　无穷级数(infiniteseries)、幂级数(powerseries)、泰勒级数(Taylorseries)。

　　7.1 无穷级数

　　分为正项级数(positive)、交错级数(alternating)。

　　这部分的核心是如何判断一个级数是收敛(converge)还是发散(diverge)。

　　1 正项级数(positive)

　　判别法有三类五种，分别是积分(integral)、比值与根值(ratio and root)、比较及极限(comparison and limit comparison)。

　　2 交错级数(alternating)

　　莱布尼茨准则(Leibniz)

　　收敛(converge)分为收敛(absolute converge)和条件收敛(conditional converge)。

　　3 判定顺序

　　(1)将级数加值取正

　　(2)对通项求极限，若极限不等于0，则可判定为发散，若等于0，则(2.1)利用积分(integral)、比值与根值(ratio and root)、比较及极限(comparison and limit comparison)判定，若收敛，则原级数收敛，若发散，则(2.1.1)若原级数为交错级数，利用莱布尼茨准则判断，若收敛，则为条件收敛，否则为发散。

　　7.2 幂级数

　　利用比值法求出收敛半径(radius of convergence)和收敛区间(收敛域)(interval of convergence)。

　　幂级数的性质：

　　幂级数在收敛区间内(1)连续(2)可微(3)可积。

　　7.3 泰勒级数

　　(1)将函数展开为泰勒级数

　　(2)求泰勒级数的和函数。

　　AB与BC考点对比

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