A-Level数学F1

2021年10月考题分析

考试日期：2021年10月14日

考试时长：1小时30分

考试题目：共计9道

Q1 (5pt)

本题考查了F1第五章的内容。求matrix的inverse matrix。作为第1题，本题难度不大，只要考生能够熟记求及矩阵的公式，以及identity matrix的表示方法就能够做出这道题目。

类似真题：

June 2014 Q3

未考查知识点：

Singular matrix以及non-singular matrix的判定

Q2 (9pt)

本题考查F1第三章的内容，F1的必考题型，也是容易拿分的题目。

a问证明区间[a,b]内有方程f(x)=0的根α。只需要证明f(a),f(b)异号即可。注意结论一定要写完整”sign change + f(x) is continuous + conclusion”.

b问先是对f(x)求导为下一步做准备，然后需要考生用Newton- Raphson process求α的second approximation。公式本上有相关公式，考生只要确保导数求对并且用计算器的时候足够认真就能得到正确的答案。

c问考查了另一种求近似值的方法：linear interpolation。这种方法学生容易出现计算错误，在做题的过程中记得随时注意计算结果是否在给定区间中。

类似真题：

Jan 2018 Q1, June 2018(GCE) Q2

未考查知识点：

本题未涉及的另外一种求根的近似值的方法：Interval bisection.

Q3 (9pt)

本题考查F1第二章的内容。用到了一元二次方程根与系数的关系，也就是韦达定理。从2014年开始，韦达定理在IAL中出现的次数比较多，几乎年年必考。

a问已知方程求两根之和和两根之积，b问求出α2+β2和α3+β3的值;c问已知方程的两根，求满足要求的一元二次方程。

类似真题：

Jan 2019 Q6，Oct 2020 Q2

Q4 (7pt)

本题考查F1第1章内容，Solving polynomial equations with real coefficients。题目给出一个含有未知系数的三次函数，已知-1-3i，是方程的一个根，a问需要求出三次方程的另外一个复数根，这里用到了一元二次方程的两个复数根一定是complex conjugate pairs。

b问求原式中未知系数，由a问的结果可以得出一个一元二次方程，这个方法在第二题中已经用过，再用对照系数法求出剩余的一次表达式，将原式写成f(z)=(Az+B)(Cz2+Dz+E)。去括号之后就能够算出题目要求的a和b的值。

c问将方程的三个解表示在Argand diagram上，注意画图的时候要清晰，可以用复数所对应的corresponding vector来表示。

类似真题：

Jun 2014 (GCE) Q3

Q5 (8pt)

本题考查F1第七章series的内容。整体来说属于常规题型，是必考的内容。

a问用的求和公式的结果证明级数的通项公式。本题是证明题，所以难度有一点下降，学生可以从结果入手进行化简。b问使用上一问的答案计算从n+1到2n+1的和。做这种题目是要注意级数的初始值。

类似真题：

Jan 2021 Q5

Q6 (8pt)

本题考查F1第四章的内容，the equation of rectangular hyperbola。

题目的出题方式比较新颖，没有直接问函数的切线和法线，而是需要先求rectangular hyperbola和直线y=kx的交点，然后再求过交点的切线方程。

b问求切线与x轴和y轴的交点，难度不大，但是要建立在前一问的基础上。

c问证明三角形的面积不受k值的影响，也就是说最后面积的表达式不包含k。这道题出的比较灵活，b问c问都要以a问为前提，对于没有完全理解知识点，只是考硬背做题步骤的学生来说，解出题目难度较大。这也是本次考试的第1个亮点。

Q7 (9pt)

本题考查F1第六章的内容，Using matrices to describe linear transformations, and using the determinant of a matrix to determine the area scale factor of the transformation.

第1部分的a问根据题目所提供的transformation写出对应的矩阵，分别是旋转和水平方向拉伸;b问用矩阵的乘法表达连续变换的结果。

第二部分a问考查了determinant的求法，这是第五章的知识点。b问用到了矩阵的determinant是图像变换后面积的变化因子，利用公式

就可以得出k的精确值。这里要注意绝 对值的使用，需要分两种情况来去绝 对值符号。

类似真题：

Oct 2020 Q6

Q8 (10pt)

本题考查F1第四章的内容，the equation for a parabola and find tangents and normal。

a问已知抛物线上的点坐标，求过该点的切线方程，学生按照常规的解题方法就能够求出切线的表达式。

b问求切线和y轴的交点A的坐标。

c问写出S (focus) 的坐标，直接套用(a,0)就能够得到。

d问的问法是第1次出现，属于这套卷子的第二个亮点。题目要求学生证明直线AS和OP的交点满足给定方程。学生需要先求出两条直线的表达式，再写出交点的坐标，最后证明坐标满足题目给出的式子。

这道题对于部分同学来说有一些难度，比较考验知识的灵活应用和数学基本功。

Q9 (10pt)

本题考查F1第八章数学归纳法的内容。i问需要证明递推公式的通项公式成立，题目给出u1 and u2需要学生在证明的时候根据实际情况进行两步数学归纳。ii问是证明题目所给式子能够被11整除。利用作差法证明f(k+1)-f(k)能够被11整除，进一步就可以证明f(k+1)能够被11整除，或者直接对f(k+1)进行化简，证明f(k+1)可以被11整除。

这两种题目的证明在F1里面属于难度中等偏上的，所以在做题的时候考生要注意证明题的答题规范，过程一定要完整，不要跳步和省略必要步骤。

未考查知识点：

求和公式的通项公式证明和矩阵的证明没有考到。

附

2021 October F1真题小结

本次F1考试难度较2106的考试没有太大的变化。主要有三个情况需要特别提一下：

第1，关于复数的内容，本次考试没有考模长，辐角的计算，对于复数的考查偏重于韦达定理和高次方程的求解。

第二，参数方程的部分，本次考试的两道比较灵活的题目都出自这个章节。尤其是关于抛物线的那道题目，有一点F3的味道。

第三，这次考试有9道题目，每道题分值都不是太大，但是题目前后连贯性较强，考生一定要保证前面几问的正确。

总体上来说，本次考试题目难度不大，基础题占比较大，但是可以看出以后题目会越来越灵活。只要背答案就能做对的题目会越来越少。学生们要真正的学会知识，并且能够做到灵活运用。